Почему значения x = Pi/2 + 2*Pi*n уравнения tgx (sinx - 1)= 0 ,полученные методом разложения на множители, являются посторонними корнями?

Потому что функция tg(x) имеет разрыв второго рода в точках вида x = PI/2 + PI * n. Иначе говоря, она там попросту не определена, так о каком решении в таком случае может идти речь?