Есть версии, что это связано с Иудой. Тут и тридцать сребреников, и поверье, что тот повесился на осине. Ещё считают, что крест, на котором распяли Иисуса, был из осины. Хотя в Палестине осины не растут, но это же всего лишь поверье. Из-за своей "трясучести" осине веками приписывали всякую связь со сверхъестественным.
Кстати, про серебряные пули - это чаще с вервольфами, а не с вампирами. Алхимики считали серебро "лунным металлом".
Но по большей части эти мифы насажены современной поп-культурой. В более древние времена люди не заморачивались и любую нечисть сжигали :D
Как версия : когда-то было популярно суждение, что серебро убивает бактерии. Может это и сподвигло сценаристов и писателей к подобным суждениям. ИМХО.