В 1918 году РСФСР перешла на так называемый григорианский календарь. К текущей дате по старому (юлианскому) календарю добавили 13 дней. Последним днём юлианского календаря у нас было 31 января 1918 г., после которого наступило сразу 14 февраля 1918 г. (1 февраля по ст.ст.).
Поэтому 1 января по старому стилю - это 14 января по новому. Вот вам и "старый Новый год". Да, именно 14, а не 13 января - старый Новый год. В комментариях я ошибся вслед за автором этого вопроса.
И так же 25 октября по старому стилю - это 7 ноября по новому. Рождество 25 декабря по старому стилю - 7 января по новому. Поэтому революцию праздновали в день, соответствующий по новому календарю ее дате - 7 ноября (25 окт. по старому стилю).
То есть простой алгоритм. Нужна дата (х) по новому стилю, соответствующая некой дате по старому стилю (y). Тогда х=y+13. Так и получается, например, 25 октября ст.ст. + 13 = 7 ноября нов. ст.
1 января ст. ст. +13 = 14 января нового стиля.
Справедливости ради, сейчас уже мало кто воспринимает день 7 ноября как "красный день календаря". Он уже и не красный совсем (в смысле не праздничный) в официальном календаре.
так значит 13 января нужно отмечать новый год, а 1 января старый новый год.