Почему при том, что согласно специальной теории относительности скорость света всегда одинакова независимо от скорости объектов, возникает красное смещение?

Эффект Доплера проявляется и на скоростях много ниже скорости света, так что с релятивистским замедлением времени он связан лишь отчасти.

Чтобы понять идею, почему это происходит, можно представить себе такую аналогию. Вы идёте и сыпете что-то из мешка, допустим, зерна (излучаете что-то). Сыпете вы всегда с одинаковой скоростью. Но когда вы идёте медленно, зёрна ложатся плотно (высокая частота излучения). Когда идёте быстро, зёрна ложатся реже (частота излучения ниже).

Реальная ситуация с излучением отличается, по большому счёту, только тем, что зёрна от вас разбегаются, поэтому вам не удастся встать в одном месте и насыпать большую кучу излучения.

Если же речь заходит о скоростях, сравнимых со скоростью света, в дело "разрежения" зёрен вступает не только сам факт движения объекта, но и то, что при очень больших скоростях, время замедляется. То есть, вы, вроде бы, сыпете зёрна как обычно, но для стороннего наблюдателя ваши зачёрпывания из мешка теперь выглядят как замедленная съёмка. Поэтому зёрна падают реже.

Ну а скорость света, действительно, постоянна. Излучение как распространялось со скоростью света, так и распространяется, просто его частота меняется.