- Можно подумать, Вы периметр частного случая эллипса — окружности можете найти до "точного" (то есть, финитного). Нет, не можете. Потому что вся иррациональность и трансцендентность спрятана в константу π . 2πρ — это circumference частного случая эллипса с равными полуосями.
- А вот когда нам надо обобщить до произвольных полуосей, то здесь приходится интегрировать и мы упираемся в невозможность взятия первообразной.
И в этом случае под "точной" формулой circumference эллипса понимают записи в специальных функциях.
Как и в случае аппроксимаций числа π, здесь есть два основных подхода:
- Через ряды, цепные дроби и бесконечные произведения. Со знакопеременными рядами удобнее, так как там легче оценить точность по следствию из теоремы Лейбница.
- Через различные lazy approximations .
Я, лично, пользуюсь вот этими:
- Аппроксимация через среднее квадратичное: L ≈ 2π * sqrt (((a^2) + (b^2))/2)
- Формула Паркера: L ≈ π * (((6/5)*a) + ((3/4)*b)))
- Формула Тасделена-Мертенса (YNOT- формула): L ≈ 4 ((a^y)+(b^y)) ^ (1/y) , где y = log (2) / log (π /2)
- Формула от AG112: L ≈ 4*(a + b) - log (4*(a/b )+ 1)*b
Ну, а аппроксимации Пи мы знаем: Лудольфово число, 22/7, sqrt(2) + sqrt (3), грубая sqrt (10), десятичная 3,141592 , 25/8 , 256/81, 339/108, 3927/1250, 62832 / 20000, 4 * arctg (1) и 6 " arctg (1/sqrt (3)) с разложением арктангенса в ряд и т.д.
Кеплер предлагал аппроксимировать периметр эллипса через среднее геометрическое полуосей. Это очень грубая аппоксимация, применима к эллипсам, с незначительной разницей длин полуосей. То есть, только к окружностям и "почти окружностям". Мотивация Кеплера была геометрической же: среднее геометрическое отрезков относительно просто решается на построение циркулем и линейкой без вычислений.