Почему нот семь?

Чтобы ответить как следует, лучше начать со следующей аналогии.

Подобно тому, как человеческий глаз выделяет из всех возможных углов углы "особенные" - прямой и развернутый, ухо выделяет два интервала (расстояние между частотами звуков) - квинту и октаву. На самом деле, разумеется, и зрение, и слух позволяют различить гораздо больше примечательных (и не очень) углов и интервалов, однако приведенные выше - самые отчетливые.

Октава и квинта - это "расстояния" между звуками, частота которых отличается в два раза и полтора раза соответственно. Человеческий слух выделяет эти интервалы среди прочих (почему - тема для отдельного вопроса, придется здесь принять этот факт на веру). Естественно, чтобы получить мелодию, нужно больше нот, и способы разбиения на октаву отличаются в разных культурах. Неизменны только два этих интервала - квинта и октава.

Если говорить о традиционных для нашей культуры двенадцати нотах, то вот откуда они берутся.

Если начать с произвольного звука, скажем, с ноты До, и откладывать интервал, равный квинте (т.е. умножать частоту в полтора раза - методы сделать это существовали еще времена Пифагора), то будут получаться ноты: Соль, Ре, Ля, Ми, Си, Фа#(читается "диез"), До#, Соль#, Ре#, Ля#, Ми# и Си#. Последняя нота совпадает с До, но уже на октаву выше. Последовательность, которую мы получили, называется кварто-квинтовый круг, и именно из нее берутся 12 нот. Чтобы получилась гамма, в более привычном виде, достаточно лишь найти каждой ноте соответствующую ей, одноименную ноту, на октаву (или несколько октав) ниже и выше. Таким образом, мы разобьем на "кирпичики" некий диапазон, и, сыграв ноты по возрастанию мы получим:

До, До#, Ре, Ре#, Ми, Фа, Фа#, Соль, Соль#, Ля, Ля#, Си, До и т.д.

Напоследок замечу, что отвечая на вопрос, мне пришлось слукавить в нескольких местах. К примеру Си# не совсем совпадает с До (см. волчья квинта). Более того, чистая квинта, столь приятная человеческому уху, в современных инструментах практически не используется - вместо нее используют ближайший к квинте интервал, достаточный, чтобы обмануть человеческий слух. Поиск этого интервала - отдельная, уже математическая задача на цепные дроби.