Почему написание синуса, косинуса и т.д. с заглавной буквы считается математической ошибкой?

Я не думаю, что оно на самом деле неграмотно. Но есть некоторые функции, например логарифм, для которых есть разные определения на вещественной прямой и в комплексной плоскости. И чтобы не было путаницы, простой логарифм пишут как ln, а аналитическое продолжение на комплексную плоскость пишут как Ln.

Они не совсем равнозначны.

Например, ln(-1) не определен, но

Ln(-1) = iπ + 2iπk , где k — любое целое число, i — мнимая единица и справедлива формула i*i = -1

Есть некоторые другие функции, у которых тоже поведение отличается и они следуют такому же соглашению об именовании.