Потому что попала в зону влияния России. Монгольский пример, далеко не единственный. Достаточно вспомнить хотя бы молдавский (он же румынский) язык.
"большинство неславянских языков народов СССР, некоторые из которых ранее имели другие системы письменности (на латинской, арабской или иной основе) и были переведены на кириллицу в конце 1930-х годов"
реальность еще смешнее (или грустнее, кому как). Сначала их перевели на латиницу, а потом через несколько лет на кириллицу