Думаю, часть ответа находится прямо в определении самого течения, которое дается, например Википедией:
Экзистенциализм – направление философии, главным предметом изучения которого стал человек, его проблемы, трудности, существования в окружающем мире.
Нельзя не согласиться, что нынешняя свобода и некоторая неопределенность развития событий в жизни делает экзистенциализм даже более нужным, чем при его зарождении, когда подобная свобода не была еще повсеместно распространена. Человеку, тем более молодому, жизненно необходимо понимать (особенно, если он об этом задумывается), как справляться с проблемами, трудностями, как смириться с некоторыми вещами в жизни.
Так Ж.-П. Сартр и А. Камю, высвечивая неблагополучие мира и показывая его абсурдность, предлагают не падать духом, а мужественно выполнять свой человеческий долг, не страшась утрат, не склоняясь под ударами судьбы, спокойно делать свое будничное дело, когда же гнет действительности становится нестерпимым, отваживаться на бунт, устраняющий и ослабляющий этот гнет.
Помимо этого, в мире, в котором все больше обесценивается религия, человеку все тяжелее жить с осознанием того, что после смерти ничего не будет. Это лишает смысла жизнь, не правда ли?
Также экзистенциализм часто показывает: что бы не случалось с человеком, чаще всего, это его вина. Нельзя в своих бедах винить окружающих и оправдывать себя за счет других людей.
И, помимо вышеописанного, мне кажется, что большое влияние, как впрочем это было всегда, мода на философию и экзистенциализм.
То есть, по моему мнению, есть две объективные причины массовости увлечения этим течением философии?
1)Потребность в мыслях изложенных представителями экзистенциализма в своих трудах.
2) Мейнстрим.