Это результат конвенции, принятой из следующих соображений.
- Алгебраический аргумент.
Нейтральным элементом относительно умножения является единица. Соответственно, наивное определение возведения в степень — это гипероперация над умножением плюс умножение на нейтральный элемент относительно умножения. Продемонстрируем на конкретном примере:
2^4 = 1 * 2 * 2 * 2 * 2 = 16 ← четыре двойки умножаем на самих себя и умножаем на единицу как нейтральный элемент относительно умножения
2^3 = 1 * 2 * 2 * 2 = 8 ← три двойки в умножении, и три же пишем в показателе
2^2 = 1 * 2 * 2 = 4 ← две двойки в умножении, два в показателе
2^1 = 1 * 2 ← остался только один множитель, отсюда всякое число в степени "один" равно самому себе, умноженному на нейтральный элемент относительно умножения
2^0 = 1 ← ноль множителей с указанным основанием ("два"), соответственно, в показателе пишем "ноль". Что у нас остаётся? Только нейтральный элемент относительно умножения. Такое произведение ещё иногда называют "нулевым произведением".
- Второй аргумент из области комбинаторики и наивной теории множеств. Сколькими способами можно отобразить множество a во множество b? Для удобства примем, что оба множества счетны и конечны. Случаи бесконечных и несчетных множеств мы сейчас рассматривать не будем, а то все оговорки заведут нас в неведомые дебри. Допустим, мощность множества a — A, а мощность множества b — B. В наивной теории множеств, "мощность" счетного множества — это количество элементов данного множества. Тогда количество всех отображений множества A → B будет равно B^A. Что же такое B^0?
0 — это в данном случае мощность пустого множества. А всякое пустое множество можно отобразить во всякое непустое множество одним-единственным способом. Пустое множество не отобразится в какой-либо "слот" непустого множества: оно отобразится в само непустое множество как бы "вникуда", в пустое же подмножества пустого множества.
- Аналитический аргумент.
Начертите график функции f(x)=a^x , где a — параметр, действительное положительное число, большее единицы, но выколите на графике точку для x=0. Какой будет эта точка? Попробуйте вычислить предел справа и предел слева для x → 0, используя определения пределов по Гейне и по Коши. У Вас получится именно то самое: пределы совпадут и это будет единица.
Проведите тот же самый эксперимент, где 0 < a < 1 . То есть, точно так же с графиками, пределами и т.д.
Аргументы 1 и 2 были справедливы только для целых положительных чисел. Аргумент номер 3 справедлив уже и для действительных чисел.
Но, повторюсь, c^0 := 1 — это обоснованная конвенция.
Она работает даже для ситуации 0^0, но исключительно в случаях, когда оба нуля — целые числа. Выражение 0.000... ^ 0.000... , когда оба нуля — действительное или с плавающим десятичным разделителем не определено, потому что по определению для действительных чисел:
a^b = exp(b * log(a)) ← и здесь для a = 0 мы будем иметь проблему: логарифм от нуля не определен. Кроме того, функция f(x) = x^x в точке x = 0 имеет только предел справа, но не имеет предела слева.
Так что, вот такой парадокс: если оба нуля целые и определены, то результат возведения в степень может быть определен и равен единице, а если оба нуля действительные, выражение не определено, не может определено и, в принципе, не имеет смысла.