Ответ на этот вопрос не очень сложен.
Христианство "начало вытеснять другие религии" ровно в тот момент, когда император Константин I Великий (годы правления 306-337) признал его равноправным традиционной религии (Миланский эдикт), а до этого момента было не очень многочисленным и не самым популярным вероучением. Преемники Константина утвердили христианство в качестве основной религии империи, (насильно) крестили массу язычников и действовали весьма решительно. Например, Феодосий I Великий (годы правления 379-395) издал ряд указов, в которых постановлял разрушать античные храмы. А в 391 году специальным эдиктом запретил все языческие культы и поклонение старым богам не только публично, но и в собственных домах.
При мощной государственной поддержке христианство было обречено стать главной религией Римской империи, а со временем - через крещение варваров - и всей Европы.
Так что вопрос следует задать несколько иначе: почему из всех возможных альтернатив старой римской религии Константин выбрал именно христианство?