Вообще говоря, это не совсем корректно, если не сказать, что совсем не корректно. В физической литературе начала 20 века, когда СТО еще не прижилось в умах людей, использовали понятие массы 'm', как отношения энергии 'E' на инвариант (квадрата скорости света) 'c^2', что отождествляло понятие энергии и массы. Соответственно, чем больше энергия, тем больше т.н. релятивистская масса 'm'.
С другой стороны, существовало инвариантное понятие массы покоя, соответствующее тому же определению, только энергия бралась в собственной системе отсчета. Делалось это для того, чтобы люди проводили более понятные для себя аналогии с классической физикой.
Позже было понято, что такой подход не особо облегчает дело, и поэтому в современных уже книжках по СТО используют понятие (отдельно) массы покоя и (отдельно) энергии. И в данном случае, энергия 'E' не будет равна произведению 'm0' - массы покоя - на 'c^2'.
Так что, ответ на ваш вопрос следующий: масса покоя НЕ зависит от скорости частицы, однако энергия, конечно же, зависит.
С точки зрения же гравитации, как одному из проявлений массы и энергии, там используется т.н. тензор энергии-импульса (что-то типа матрицы), где массе покоя соответствует одна компонента, а энергии движения (импульсу) - другие. Поэтому такое разделение общей энергии и (инвариантной) массы покоя вполне логично.