По конвенции. Могло и не быть принято, но приняли из нескольких соображений. Пример с гамма-функцией тут уже приводился, но я хотел бы привести другие примеры.
Ограничимся только целочисленным определением факториала без расширения на действительные числа через гамма-функцию или пи-функцию.
Что такое факториал для целых чисел?
Например,
5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120
Но что такое целые числа АЛГЕБРАИЧЕСКИ? Упорядоченное кольцо. В упорядоченном кольце нейтральным элементом относительно произведения является 1 . Т.о., всякое произведение начинается с умножения на нейтральный элемент:
5! = 1 * 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120
4! = 1 * 1 * 2 * 3 * 4 = 24
3! = 1 * 1 * 2 * 3 = 6
2! = 1 * 1 * 2 = 2
1! = 1 * 1 = 1
0! = 1
Ситуация, когда нет никаких сомножителей, называется ,"нулевым произведением". По той же причине, кстати, для целых чисел (и только для целых!) где операция возведения в степень определяется как гипероперация над произведением, 0⁰= 1:
3³ = 1 * 3 * 3 * 3 = 27
2² = 1 * 2 * 2 = 4
1¹ = 1 * 1 = 1 — один раз число "1" и один раз нейтральный элемент относительно умножения.
0⁰ = 1 — остался только нейтральный элемент относительно умножения, других множителей нет.
Другой пример — из комбинаторики и теории множеств. Какой может быть смысл у операции факториала? Это количество перестановок множества из заданного количества элементов. Проведите эксперимент: возьмите три монеты и попробуйте их переставить между собой. Сделать Вы это сможете ровно шестью способами. Вот, смотрите, допустим, одну монету обозначим буквой A, вторую буквой B и третью — буквой C:
- A B C
- A C B
- B C A
- B A C
- C A B
- C B A
Можете проверить экспериментально.
Что такое 0! ? Ничто иное, как |{}|! — то есть, количество перестановок пустого множества. А у пустого множества, как и у множества из одного элемента, существует одна-единственная перестановка — "исходная позиция", "ничего не делать", "состояние покоя".
Для двух элементов количество перестановок выглядит так:
- A B
- B A
Для одного элемента:
- A — всего один элемент, единственно возможная перестановка
Для пустого множества:
- { } — есть только один сам пустой слот перестановки без элементов.
Факториалами в комбинаторике считают, как раз, вот эти вот слоты с уникальными перестановками элементов.
Хотел бы подчеркнуть ещё раз, 0! = 1 — это конвенция. Вполне возможно задать новую операцию 0!' , в которой такая конвенция работать не будет и вместо нее будет любая другая, о какой договоримся. Но для "классического" факториала была принята именно такая конвенция из трёх соображений:
- Комбинаторика и теория множеств.
- Алгебраический аргумент.
- Практическое удобство расширения целочисленного факториала на действительные и комплексные числа через гамма- и пи-функции.