Здравствуйте.
Техосмотр Вы можете проходить вне зависимости от того, где прописаны, и в каком регионе стоит автомобиль на учете. При предъявлении автомобиля на техосмотр, из документов Вам необходимо будет предоставить только СРТС и водительское удостоверение.
То же и про постановку на учет. Проблем с постановкой в городе, где Вы получили новую прописку не возникнет.