Парень двоюродной сестры ревнует меня к ней и не верит, что я ее брат, просит доказательства. Старые сообщения 2012 года не работают, как доказать это иначе?

Непростая ситуация, сочувствую, по всей видимости, она доставляет вам много неприятных чувств. 

Вы не обязаны ничего никому доказывать. Отношения все-таки вашей сестры и ее молодого человека. Ответственность за то, что в них происходит, лежит на них. Это похвально, что вы беспокоитесь и, видимо, стараетесь помочь сестре, но это не ваша ответственность помогать ей в чем-то убеждать своего молодого человека.

Скорее всего, им самим стоит поработать над доверием в паре. Если я правильно понимаю, то молодого человека беспокоит ваш статус из-за ревности. А если бы вы не были братом, то что? девушке нельзя было бы с вами общаться? Тут вашей сестре самой стоит подумать над тем, является ли подобное отношение к ней (недоверие, просьбы что-то доказывать и по всей видимости ограничения) приемлемым для нее.