Осознавали ли простые люди из народов, покоренных Римской империей, что они являются ее частью?

Это, не в последним случае, зависело от конкретной степени романизированности.

Ну то есть, ощущения галла с территории нынешней Франции (что стала довольно быстро одним из экономических центров империи), и жителя Ближнего Востока с той территории, которая переходила из рук в руки в результате кровавых войн с Персией, с переменным успехом, что имели место в начале первых веков н.э. - несколько разные вещи. Некоторые территории переходидили из рук в руки постоянно, когда местные жители даже не помнили, был ли кто-нибудь здесь постоянным властителем ранее. 

Посмотрите на карту современной Европы. В основном, где сейчас романские страны (где говорят на языках романской группы индоевропейских, т.е., произошедших от древней римской "народной латыни") - вот там и было ощущение себя частью Римской империи, и жителяи чувствовали себя, в основном, римлянами. А где не чувствовали, им это самосознание помогли укрепить позже залётные завоеватели, для которых покорённые были именно "римлянами". 

Классические границы Римской империи в Европе очень легки для запоминания - по Рейну и Дунаю. Там вот, в основном, сознательные потомки римлян и живут (в случаях с германскими территориями несколько сложнее). Кто родственны грекам - можно записать сюда же. Но в Азии не сложилось. Здесь именно резко менялось всё в течении десятилетий. (До Средних веков).

А Британия (не вся, а та, что до Шотландии) тоже была весьма романизированным краем. И наверняка местные уже считали себя во многом "римлянами". Такие, как Амвросий Аврелиан (*very sorry, здесь ранее стояло неправильное имя; обновлено) по-видимому, ставший прототипом для короля Артура. У местных "римлян" было что защищать как от пиктов, так и от злющих англов, саксов и скотов, (хотя, последних позвали именно для защиты).