Осознает ли сумасшедший, что он сумасшедший, и чувствует ли человек, что он сходит с ума?

Смотря что подразумевается под "сходит с ума".
Если шизофрения - то, как правило, это не происходит внезапно. До того, как возникнет бред, галлюцинации (если вообще возникнут, бывают разные формы шизофрении) - несколько лет может длиться преморбидный период, когда у человека просто повышается тревожность, появляются немотивированные страхи, тенденция замыкаться в себе, и т.п. Разумеется, человек понимает, что с ним что-то не в порядке, болезни, в том числе психические - это страдание, а не счастье. Он может искать помощи.
Другой вопрос, что человек не всегда знает, что его состояние имеет своё название и свой код в классификаторе болезней.

Но вообще один из критериев при психиатрическом обследовании - т.н. "сохранение критики к своему состоянию". Т.е. если человек не считает себя больным, демонстрируя при этом явные признаки социальной дезадаптации - то признак плохой, серьезные нарушения мышления.