Нет, не обязаны. В Семейном кодексе РФ много внимания уделяется правам ребёнка, но ничего не сказано об обязанностях или ответственности. Как ни странно, самая близкая ситуация — это права и обязанности домашних животных: ответственность и обязанности лежат на владельце.
В том числе в законе нет ничего про «послушание» и ответственность детей за невыполнение указаний родителей. Зато родители имеют преимущественное право на воспитание, обучение, распоряжение деньгами и имуществом, а значит, именно они могут решать, покупать ли в магазине конфеты и говорить ли ребёнку пароль от вай-фай :)
С другой стороны, в обязанности родителей входит обеспечение благополучия ребёнка. Поэтому в случаях, когда у ребёнка из-за «непослушания» возникают проблемы (например, со здоровьем или успеваемостью), к семейным разногласиям по закону могут подключиться самые разные службы: от школьного психолога до органов опеки, а это уже может быть чревато последствиями вплоть до лишения родительских прав и изъятия ребёнка из семьи.