Ух, с чего бы начать. Во-первых, сам этот закон был установлен экспериментально. Когда никто вообще не был в курсе про современную теоретическую физику, но могли в уже в простенькие эксперименты. Кроме того, такую закономерность можем заметить и мы. Например, телефон сам не заряжается, само по себе ничего не может нагреться или подвинуться и так далее. С приходом теоретической физики все современные законы стали иметь математическое строгое обоснование. Любые законы сохранения связаны с какой-либо симметрией, симметрия эта привязана к математике и одновременно к пространству. Симметрия звучит весьма абстрактно, но по отношению к закону сохранения энергии (далее ЗСЭ) - это симметрия относительно сдвигов во времени. То есть, если вы проведете какой-то экспереимент сейчас, а потом через день, а потом через год, то результаты должны совпасть (и совпадают, если все иные условия эквивалентны). Кроме этого, в уравнениях, описывающих какую-либо физическую систему вы также можете произвести сдвиг во времени и это ничего не сломает.
Как по мне, наиболее понятным этот закон может стать, если осознать, что энергия и масса - это два взаимосвязанных и эквивалентных понятия. Любая массивная частица (с массой m) представляет собой энергию Е = m*c^2. Грубо говоря, в ложечке сахарка такое количество энергии, что жуть. Нооо, не спешите радоваться, что нефть и даже солнечные батареи теперь не нужны, ибо чтобы её извлечь нам нужно найти антисахарок. И вот если мы их совместим, то тогда получим освобождение этой энергии (и уничтожение сахарка (обоих), ибо закон сохранения энергии и тут работает). Кроме того, это соотношение подтверждено в иных экспериментах. Если происходит химическая реакция и из двух реагентов образуется новый продукт, то раз он образовался, то энергия связи в его молекулах больше, чем в предыдущих реагентах (а она отрицательная, значит энергия по модулю хоть и больше, но по величине она меньше). И из данной формулы выше следует, что по массе новый продукт становится меньше (и нет, не из-за того, что что-то "испарилось" или потерялось). Количество молекул и атомов всё то же, но масса их суммарная в данном продукте меньше, ибо ЗСЭ.
Так-с, теперь про нарушения, тут еще веселее. Если кратко, то нарушение - вся квантовая механика на малых масштабах времени. Ибо вот я недавно говорил, что частицы - это просто "ощущаемые сгустки" энергии, но все слышали, что они могут сами рождаться и даже существуют явления, подтверждающие это. Например, излучение Хокинга у чёрных дыр. Рождаются они, как правило, парами, чтобы не нарушить законы сохранения зарядов и ароматов (электрического, лептонного, красоты, верхности, нижности, странности, барионного и так далее). Ну и вот, сразу можно сказать, что ничего не работает и вообще ужас. И вы будете правы, ибо здесь прямое нарушение закона сохранения энергии, а далее мы узнаем, что вообще благодаря этому нарушению существуем мы и существует наш мир, но всё по порядку.
В дело вступает квантовая физика и неопределенность. Фундаментальное математическое объяснение её наличия кроется в теории операторов, на которых строится квантовая физика, и их собственных векторах. Но слишком малый процент людей в этом разбирается, поэтому, если кому-то интересно очень и он немного шарит в линале, то может мне в лс написать. Объяснение логическое в моей голове до сих пор весьма туманно, да и у каждого физика оно, вероятно, своё и построено на ассоциациях и воображении. Если очень приблеженно, то на малых масштабах творится какой-то пиздец. Например, если энергии совсем нет и мы будем смотреть на одиночную молекулу, то там всё равно будет колебательное движение, называемое нулевыми колебаниями, что вообще логике не поддается и является нарушением закона сохранения энергии.
Кстати, важное замечание - неопределенность относится только к парам(!) некоторых(!) величин. Например, можно узнать где находится электрон, поставив пластину, которая запишет место, куда он впишется (ну только до столкновения место куда он впишется будет не конкретным, как с мячиком, который вы кинули, а описываться вероятностью и иметь немалый такой разброс, но узнать место по итогу можно). А вот узнать одновременно координату и скорость не выйдет, увы. Объяснения этого опять кроется в операторах и соотношениях между ними.
Ну так вот, нам интересна конкретная неопределенность - неопределенность между временем и энергией. Математически её суть: произведение промежутка времени на изменение энергии внутри этого промежутка, всегда больше некоторого маленького числа. Логическая суть: на небольшие промежутки времени энергия системы может нарушаться сама по себе. Чем меньше этот промежуток времени, тем больше в нём может быть изменение энергии. То есть закон сохранения энергии существует, но с поправкой: на маленьком участке времени он нарушается. По истечению этого промежутка времени всё приходит на свои места. Участки времени эти невероятно малых масштабов, которые просто не являются представимыми для нашего воображения.
Собственно из этой неопредленности происходит,например, рождение пар частиц (и мгновенная смерть, чтобы ЗСЭ работал). Такие частицы, которые рождаются из-за этой неопредленности, называются виртуальными.
Теперь пришло время поговорить о том, почему это так важно.
Все мы знаем (ну или сейчас узнаем), что все взаимодействия передаются частицами переносчиками. Рассмотрим только гравитационное и электромагнитное (в сильном и слабом то же с помощью переносчиков, но история посложнее). Электромагнитное взаимодействие происходит благодаря тому, что частицы обмениваются гамма квантами. Гравитационное - благодаря обмену гравитонами (которые еще не обнаружили, но как их не называй, они всё равно существуют, ибе чем-то массивные частицы обязаны обмениваться). Без этих фундаментальных взаимодействий не было бы ни молекул, ни планет, ни атомов, ни ядер, ни-че-го.
И встаёт вопрос: а с какой стати каждая частица их рождает и окружает себя их облаком, благодаря которому частицы узнают друг о друге и взаимодействуют? А вот с того, что есть неопределенность. Каждый момент времени энергия частицы может изменяться, в момент изменения энергия частицы резко возрастает и т.к. этой энергии достаточно, чтобы родить, например, гамма квант, то она успешно это делает, возвращаясь в прежнее состояние. Далее эти гамма кванты или гравитоны летят от частицы, пока не встретят другую. При соударении происходит взаимодействие, а интенсивность соударений определяет величину этого взаимодействия (силу). Причем, может в школе кто-то задавался вопросом: а почему в формулах всемирного тяготения и закона Кулона у нас внизу квадрат? А ответ в том, что если начертить прямые линии от сферы, то число этих линий, проходящих через единичную площадку сферы, которая окружает эту частицы, будет уменьшаться обратно радиусу в квадрате. То есть закон Кулона и закон всемирного тяготения можно вывезти из факта, что существуют переносчики, хотя изначально это тоже экспериментальные законы (подробнее об этом законе объяснял в ином своём ответе).
Еще одно удивительное явление, которое следует из этой неопределенности - это наличие "виртуальных шуб" у частиц. Представим частицу. Допустим, мы уже 100-ом веке и имеем Iphone XXXX, у которого вместо камеры электронный микроскоп (вероятно электронного не хватит, а какой-то похлеще, но пускай так) с замедлением времени в 10^34 раз. И вот мы смотрим на частицу. На таких масштабах мы сможем заметить это изменение энергии, благодаря которому частица будет превращаться в какие-то иные (ибо это позволяет энергия, а если энергия позволяет, то это произойдет). Все эти частицы будут в свою очередь распадаться на другие (ибо они жирные и не могут существовать долго). По итогу, наблюдая на нейтрон, например, мы будем видеть не нейтрон, а шубу из различных частиц, которые рождаются и умирают, рождаются и умирают. Весело, не правда ли?
Если это перевести в классическую физику, то представьте, что у вас на столе лежит шарик для пинг-понга. В какой-то момент времени он превращается в шар для боулинга, который тут же распадается на 10 теннисных мячей, затем 5 тенисных на 7 дротиков для дартса и так далее (но в среднем это будет всё тот же шарик для пинг-понга :) ). И всё это в динамике, с рандомными преобразованиями(чтобы только законы сохранения другие выполнялись), в общем весело и задорно.
Забава в том, что сгусток из этих виртуальных частиц всё также будет иметь в среднем ту же массу, что и изначальная частица, абсолютно всё время будет иметь тот же электрический заряд и другие заряды. И, например, если такое происходит с протоном в атоме водорода, то так как электрон очееееннь далеко, то он этого и не заметит и никак это не повлияет на свойства предметов вокруг нас.
Вот такой вот у нас весёлый мир :)