Как исправить?
Заменить аккумулятор. Благо, сейчас для этого достаточно купить подходящие по размеру литий-полимерные элементы и перепаять.
Когда вы выключаете ноутбук, то остаются работать системный таймер и контроллер заряда батареи. Внешних признаков реакции на подключение блока питания нет потому, что контроллер заряда продолжал работать. Если батарея дохлая, то при достижения критического разряда, контроллер ее отключает совсем. Поэтому, когда вы подключаете БП, сразу загружается контроллер питания. Вообще, операционка грузиться не должна, но может, это зависит от воли и мастерства разработчика BIOS.
Как вариант, если есть такая возможность, можно попробовать отключить контроль питания батареи в BIOS (EFI), но тогда нужно обязательно извлечь акк, иначе будет как в сказке.