Я могу дать общие рекомендации и пояснения, но здоровье — слишком важная и тонкая вещь, поэтому настоятельно советую задать этот же вопрос вашему лечащему врачу: он лучше знает особенности вашего организма, противопоказания и т. д., поэтому сможет дать более точный и развернутый ответ.
В целом же считается, что физическая нагрузка, а особенно аэробные упражнения, способствуют облегчению шизофрении. Вот исследование на эту тему на английском языке: https://academic.oup.com/schizophreniabulletin/article/43/3/546/2503725
Там говорится о трехмесячном эксперименте. В результате него выяснилось, что у людей, которые помимо медикаментозного лечения посещали аэробные тренировки, улучшились социальные навыки, концентрация внимания, работа мозга и т. д.
Аэробные нагрузки — это кардио (бег, ходьба, плавание, велосипед, орбитрек). Но я думаю, что и занятия в зале скажутся положительно. Главное — делать все в меру сил, не пытаться ставить рекорды, постепенно повышать нагрузку.
Что касается протеина, то это обычный белок, который вы можете получать из простых продуктов (творога, мяса, рыбы, яиц, бобовых и т. д.). Просто в спортпите белок содержится в концентрированной и удобной для приема форме. Если ваше лечение не предусматривает ограничение белковой пищи, то протеин можно спокойно принимать. Но опять же: не превышайте рекомендуемую дозировку и советуйтесь с врачом.