Отвечать на этот вопрос можно по-разному: или использовать вульгаризованные представления основанные, в частности, на решениях некоторого возведенного в догмат уравнения; или использовать всё разнообразие исследований таких закономерностей на основе разного математического инструментария.
Я лично предпочитаю второе.
Поэтому дам некоторое представление о таком разделе математики как теория винтов, являющимся частью линейчатой геометрии.
Основная суть данной теории - это то, что любое пространственное движение произвольного тела эквивалентно винтовому движению, которое можно представить как некоторую совокупность скользящих векторов. И если эту систему привести к некоторой центральной оси, то итоговая характеристика получаемого математического образа и называется винтом.
В дальнейшем использование такого математического представления механических взаимодействий приводит к определенным геометрическим соотношениями и закономерностям.
Вот на одну такую закономерность я и хочу обратить внимание.
Так любую произвольную и неограниченную систему скользящих векторов можно представить в виде ограниченного количества независимых винтов. Если попытаться взять и составить какие либо дополнительные винты, то оказывается что никакого усложнения математического описания не получается, т.к. все эти дополнительные винты оказываются эквиваленты тому ограниченному количеству, которое уже построено.
Теперь можно обратится к аналогиям. Например таблица Менделеева.
Если, предположим, каждый элемент таблицы описывать в терминах теории винтов, то характерных различий у этих элементов всегда будет ограниченное количества, в данном случае восемь. А все остальные элементы, сколько бы их не было, будут входить в уже определенные группы, что и представлено как периодичность.
Отсюда делаем вывод, что да случайности могут быть в силу нашего неполного знания о природных процессах. Но каковы бы они не были в Природе существует определенная закономерность которая принуждает выстраивать все основополагающие элементы в определенные характерные группы, что и дает основание говорить о наличие аналогий.