Свидетельство о рождении ребенка выдается либо по месту рождения, либо по месту жительства родителей (одного из родителей). Вы можете оформить свидетельство, подав заявление через госуслуги, это очень удобно
Тут еще прописки(регистрации) нет
Да, можно, если у вас есть на руках подтверждающая справка о рождении малыша из роддома, в котором вы рожали. Без разницы, в каком городе вы рожаете.