По договору дарения передаётся вещь, либо имущественное право. Поэтому счёт в банке подарить нельзя, денежные средства на счёте - можно.
Договор дарения в будущем (обещание дарения) нужно составлять в письменной форме (обязательное требование). Также письменная форма договора дарения обязательна, если дарителем выступает юридическое лицо, а стоимость дара превышает 3000 рублей.
Передать права на счёт (снятие и пополнение денег) можно по доверенности. Которую можно оформить как в самом банке, так и нотариально.