Можно ли с помощью интегралов найти площадь обычной фигуры? Ну, например, треугольника, квадрата?

Прямоугольник:

Предположим, что одна из сторон прямоугольника совпадает с прямой y=0, другая с х=0. Любой другой прямоугольник с помощью небольших трансформаций можно привести к подобному состоянию. Поэтому задача сводится к нахождению площади под прямой у=а для любого а в границах между х=0 и х=б. По правилам интеграции, это будет равно а*(б-0)=аб. 

Треугольник:

Как в прошлом примере, можно предположить, что одна из сторон треугольника совпадает с прямой у=0. Две других стороны (1)y=mx+c и (2)y=-nx+v. Проведём высоту от вершины треугольника до прямой у=0. Теперь высчитаем интеграл для прямой (1) между х=-с/m и х=(вершина треугольника) и для прямой (2) между х=(вершина треугольника) и х=v/n, результаты суммируем и получаем площадь треугольника. 

А вообще, формулу площади любой геометрической фигуры на мат.факультете учат только на третьем семестре. То, что учат в школе, это частные случаи данной формулы.