Посмотрите отрывок (1,5-2 мин.) из док. фильма про Григория Перельмана, там отлично объяснено про теорему Пуанкаре ;)
https://www.youtube.com/watch?v=fdCOrOCcB1s&feature=youtu.be&t=3m45s
А вообще, очень рекомендую посмотреть весь фильм - очень познавательно.
Спасибо большое за такой подробный ответ! Очень интересно.