Можете объяснить простым языком человеку, далекому от математики, в чем основной вопрос в гипотезе Римана (что он хотел и чего не смог)?

Математика - это наука, которая описывает некоторые закономерности чисел с помощью формул, затем этим пользуются другие науки, где эти закономерности проявляются в виде законов природы.

Возьмём гармонические колебания. В математике их описывает вращение отрезка единичной длины и в зависимости от фазы (точки отсчета), мы получаем две функции синус или косинус угла, а проще величину одной из сторон прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является, упомянутый выше отрезок единичной длины.

С гармоническими колебаниями все ясно, они имеют постоянную частоту и период, т.е. отрезок, который вращается с постоянной скоростью, через равные промежутки времени занимает определённое положение, поэтому говорят, что синус и косинус - периодические функции.

Задачу можно усложнить, сложим несколько гармонических колебаний с разными, но постоянными частотами и периодами. Мы можем взять разные начальные фазы и длины отрезков и получим сложное колебание. Если сложить отрезки по правилам сложения векторов, то конец результирующего вектора через равные промежутки времени будет также занимать определённое положение, не смотря на то, что его длина будет постоянно меняться, т.е. мы снова получим периодическое колебание.

Теперь усложним задачу еще больше, возьмем не постоянную, а переменную частоту вращения отрезков, будем чуть-чуть ее увеличивать. В этом случае мы получим сложное колебание, но оно уже не будет ни гармоническим, ни периодическим, т.е. конец результирующего вектора через равные промежутки времени не будет занимать определенное положение.

Примерно такое колебание описывает функция Римана, т.е. не возможно математическими методами определить, как ведет себя эта функция в бесконечности, а, следовательно, невозможно утверждать, где находятся ее нули.

Риман предположил, что все нули этой функции возможны только в симметричном случае, когда колебания совершают два набора отрезков, длины которых равны обратным величинам корней из натуральных чисел. Так и возникает число 1/2, а всё остальное это вращение этих отрезков.

В настоящее время самой сложной задачей показать, что нули этой функции вращающихся отрезков остаются действительными, т.е. функция меняет знак, даже если эти нули находятся критически близко (см. пары Лехмера).