Может ли суд обязать ответчика выплачивать алименты, если истец не заявляет их в исковом требовании?

Суд не просто может, а обязан взыскать алименты на содержание несовершеннолетних детей  одновременно с расторжением брака, в том числе при отсутствии требования об алиментах, если отсутствует соглашение об уплате алиментов,  а также если установлено, что имеющееся соглашение нарушает права ребенка (детей) или одного из супругов.

Статья 24  Семейного кодекса РФ. Вопросы, разрешаемые судом при вынесении решения о расторжении брака

1. При расторжении брака в судебном порядке супруги могут представить на рассмотрение суда соглашение о том, с кем из них будут проживать несовершеннолетние дети, о порядке выплаты средств на содержание детей и (или) нетрудоспособного нуждающегося супруга, о размерах этих средств либо о разделе общего имущества супругов.

2. В случае, если отсутствует соглашение между супругами по вопросам, указанным в пункте 1 настоящей статьи, а также в случае, если установлено, что данное соглашение нарушает интересы детей или одного из супругов, суд обязан:

определить, с кем из родителей будут проживать несовершеннолетние дети после развода;

определить, с кого из родителей и в каких размерах взыскиваются алименты на их детей;

по требованию супругов (одного из них) произвести раздел имущества, находящегося в их совместной собственности;

по требованию супруга, имеющего право на получение содержания от другого супруга, определить размер этого содержания.

3. В случае, если раздел имущества затрагивает интересы третьих лиц, суд вправе выделить требование о разделе имущества в отдельное производство.