Может ли исповедь заменить приём у психолога?

Однозначно, нет.

Исповедь - это покаяние. Для проведения церковного таинства исповеди вы должны прийти и рассказывать о своих поступках с позиции виновного кающегося грешника, прося таким образом прощения у бога. Священник занимает позицию посредника, он может вам сказать, что что-то не грех, а что-то наоборот ОЧЕНЬ грех, на вас нужно наложить сугубое покаяние (епитимию) и сугубо просить прощение у бога. Вы обязаны рассказывать все под угрозой того, что если осмелитесь что-то утаить, то "сугуб грех имаши" (т. е. бог еще больше разгневается, если ыв осмелитесь что-то скрыть от священника). Многие священники позволяют себе буквально указывать людям, как им жить - например, женщине, которые рассказывает об абортах или просто о нежелании иметь детей, могут сказать, что она обязана теперь рожать сколько сможет чтобы бог ее принял и простил. Человека могут "обязать" ради улучшения его состояния  идти жить в монастырь, обязать сделать крупное пожертвование, служить "во славу божью" (бесплатно работать) на пользу церкви и т. д. Не все священники занимаются раздачей таких указаний, но наиболее авторитетные и заслуженные священники рпц этим занимаются регулярно, и церковь как организация ничего не делает, чтобы эту практику осудить или пресечь. Наконец, священник обязан повлиять на вас так, чтобы вы в дальнейшем стали прихожанином церкви и частью церковной общины, так как на священниках лежит обязанность от церкви увеличивать количество верующих. 

Прием у психолога это общение между равными субъектами относительно вашего психологического состояния. Вы не приходите каяться психологу. Вы рассказываете о себе то, что считаете нужным, вы спокойно отказываетесь говорить на темы, на которые говорить не хотите/вам неудобно. Психолог не имеет права на вас давить, не имеет права указывать, как вам жить и что делать. Вы сами решаете, хотите вы с ним общаться или нет, продолжать терапию или нет.  В общем, поведение психолога должно соответствовать медицинской этике, а сам психолог действует в интересах пациента, он не имеет права судить пациента как плохого либо хорошего. Разумеется, все это относится к добросовестному психологу, но обратите внимание, что в общении со священником в принципе таких критериев нет. 

Строго говоря, исповедь - это насильственная процедура открытия своих мыслей, переживаний и действий чужому человеку, причем  с точки зрения вашей виновности и обязанности просить прощения у какого-то высшего существа  под угрозой вечных адских мук. С точки зрения современной психологии,  да и просто нормального человеческого общения, чувство вины деструктивно, а давить на психику человека неэтично.

Если говорить не об исповеди, а просто о беседе со священником, то опять же стоит иметь ввиду, что с таким же успехом вы можете пообщаться с любым человеком на улице. Священники не имеют психологического образования, не говоря уже о том, что религиозное восприятие человека как существа, который вечно обязан испытывать смирение перед богом и свою греховность в принципе для многих людей сомнительно. 

Почему же при всем описанном существует множество людей, которые утверждают, что исповедь приносит им моральное облегчение и улучшение состояния? 

Когда человек "встраивается" в систему одобрения/не одобрения его мыслей и поступков со стороны других людей (отдаем им право судить себя), то в дальнейшем действия этих людей конечно влияют на его самоощущение и состояние. Так, если человека мучает совесть, он придет на исповедь, исповедуется и ему скажут, что некое высшее существо его простило и теперь все хорошо, человек действительно может начать плакать от радости. Думаю, это сродни приливов эндорфина. Играет также роль конкретного священника - многие из них хорошо умеют давить авторитетом и манипулировать чувством вины, ну и просто вам может попасться подходящий вам по психотипу человек) Играет роль также и то, что когда вы приходите в церковь, вы приходите фактически в некую общину людей, и если вы видите, что все ходят на исповедь и все ее одобряют  и хвалят, вам будет легче и самому принять эту систему и начать ее одобрять, тем более, что разовой исповедью участие священника и церкви ограничиться никак не может и не должно  в силу обязанности священника увеличить в идеале количество прихожан.