Можете. Вам для этого нужно получить свидетельство о браке, когда вы закажите его в Доме Юстиции Грузии, попросите сделать перевод и поставить апостиль, а затем сделайте нотариальное заверение.
На основании этих документов брак будет признан в РФ официальными органами.
В Грузии даже существует специальный вид такого туризма - брачный туризм. Есть такое местечко - Сигнахи, это место считается городом любви и одновременно курортом, на который молодые пары со всего мира приезжают заключить свой брак. Там работаю круглосуточные дворцы бракосочетания.
Сигнахи известен вам скорее всего по песне Аллы Пугачевой - Миллион алых роз. В ней поется о художнике который продал свой дом и купил на все деньги море цветов. Эта песня основана на реальных фактах. Этим человеком был Ника Пиросмани, известный грузинский художник. Влюбившись во французскую актрису он действительно продал свой дом в Сигнахи и прислал ей целое море роз.