Сергей, наследственное дело открывается со смертью наследодателя. При этом наследников может быть несколько человек, каждый из них имеет право претендовать или отказаться от принятия наследства. Для этого наследник должен подать заявление нотариусу. Таким образом, отвечая на ваш вопрос, наследственное дело одно, а заявлений от наследников может быть несколько.