Можете.
Ст. 3 Закона РФ от 19.04.1991 N 1032-1 нигде не содержит утверждения, что "стать на учет в качестве безработных имеют право только граждане РФ", а согласно ст. 6 "Законодательство о занятости населения распространяется также на иностранных граждан и лиц без гражданства, если иное не предусмотрено федеральными законами или международными договорами Российской Федерации".
Кроме того, вид на жительство иностранного гражданина может заменять паспорт гражданина РФ.