Евклидово расстояние меньше ``Манхэттенского", то есть расстояния по метрике l_1, но меньше не более, чем в корень из двух раз.
Да и вообще любые две нормы в конечномерном векторном пространстве эквивалентны, то есть существуют константы C_1 и С_2 такие, что для С_1*N_1(x) \leq N_2(x) \leq C_2*N_1(x). В примере с метриками Евклида и l_1 эти константы равны 1 и корень из двух.
Для бесконечномерных пространств это уже неверно, и несложно подобрать неэквивалентные нормы.
Вопрос не очень понятен. Метрика - это и есть расстояние между объектами. Разные метрики = разное расстояние. Метрика Евклида и l1 - разные. Пока что больше добавить нечего