Признайтесь себе, вы хотите работать дальше в учреждении?
Если нет, то можете писать заявление об уходе по собственному желанию. А если да, то какое это собственное желание, это желание директора.
Какой-то мелочный у вас директор, обиделся на слова, разговора о качестве выполняемой работы не ведётся. У вас есть выбор, не спешить с заявлением, возможно шеф успокоится и простит вашу дерзость, или пойти на принцип: пусть попробует уволить за неформальное общение, такое обстоятельство для расторжения трудового договора с работником Трудовой кодекс не предусматривает.
Проще спорить с начальством бюджетного учреждения, т. к. понимаешь, он сам наёмный служащий и обязан подчиняться закону. Если же ваш начальник руководитель частной конторы, то ситуация сложнее. Когда по незначительному поводу вам угрожают увольнением, значит обстановка тут нездорова. В других обстоятельствах я бы посоветовал вам сменить место работы, но учитывая теперешнюю ситуацию, скажу: держитесь за рабочее место.