Вообще имена не переводят, а транскрибируют - передают звуковую форму. За исключением уже "состоявшихся" переводов, т.е. имен, которые уже знакомы читателю перевода.
В данном случае, если понимать перевод так, как предлагаете Вы, льва звали бы Саша, т.к. Алекс (в английском) - сокращение от Александра.