Не очень поняла, куда вы устроились. Если верно предполагаю, то Центр занятости (биржа труда) дала вам направление в компанию, где вас на работу и взяли. Если это так, то запись в трудовой сделает та компания, которая вас наняла. Центр занятости здесь не поможет.
Другой вопрос- какие документы вы приносили в ЦЗН? Обычно это приказ о трудоустройстве. А если есть приказ, то отсутствовать запись в трудовой никак не может. Или работник отдела кадров халатно отнесся к обязанностям.
Еще один вопрос- а как вы узнали, что в трудовой записи нет? Трудовая книжка чаще всего хранится у работодателя (если это бумажный вариант). Вы просили копию трудовой? Компания вообще оформляет сотрудников официально?
Если изначально вам обещали, оформить сотрудничество в соответствии с законодательством, но сейчас реально эти обещания не выполнены, идти стоит в Государственную инспекцию труда в своем городе.