Иудей - приверженец иудейской религии. Т.е. человек, считающий правдой все, написанное в Торе и признающий Ее святой книгой, продиктованной Самим Создателем.
Есть религия и есть национальность. Когда речь идет о евреях и/или иудеях, многие эти два разных понятия путают. Почему - непонятно. Как все понимают, что год рождения и рост – не одно и то же, так же все понимают, что религия и национальность – разные вещи. Но это только когда речь не идет о евреях и иудеях. Никто не скажет, что "бурят" и "буддист" - одно и то же, что крещеный бурят перестает быть бурятом и т.д. А что крещеный еврей перестает быть евреем, говорят.
В принципе, тут нет логической ошибки, это вопрос определения. Теоретически словом "стол" можно называть и столы и топоры, но это неудобно и неразумно. Точно так же со словами «еврей» и «иудей» - можно считать их синонимами, но это неудобно и неразумно. Получается, для других национальностей и конфессий есть отдельное название («армянин», «христианин»). а для евреев и иудеев – нет.
И с переменой религии возникает путаница. Русский, перешедший в магометанство, становится по религии мусульманином, а по национальности остается русским. Почему же прошедший гиюр китаец становится евреем? А кем по национальности становится еврей, перешедший в православие? Русским, украинцем, болгарином?
Есть религия и есть национальность, это объективный факт, это не зависит от того, как мы что называем. Но удобно а) иметь названия для понятий и б) разные понятия называть разными словами: армянин, белорус, еврей, … Буддист, иудей, христианин, …