Когда пишется имя Johny, а когда Johnny? И являются ли имена John, Jon, Johny, Johnny одним и тем же именем?

Johny — никода. Согласно правилам английского языка согласная всегда в таких случаях удваивается, чтобы исключить возможность появления открытого слога, в котором предшествующая гласная может читаться совсем не так.

John и Johnny — это варианты одного имени: Иван и Ваня. А вот Jon — кратная форма имени Jonathan, по нашему — Нафаня.