Хочу подать на установление отцовства и алименты. Могу ли я после этого взыскать с него долг за предыдущие 10 месяцев?

Нет, взыскание алиментов возможно только с даты обращения в суд с иском о признания мужчины отцом ребёнка, при вынесении судом положительного решения. До установления факта билогического отцовства в отношении ребёнка, мужчина юридически не признается родителем и не несёт обязанности по содержанию ребёнка в соответствии со ст. 80 Семейного кодекса РФ.

• Родители обязаны содержать своих несовершеннолетних детей.
• В случае, если родители не предоставляют содержание своим несовершеннолетним детям, средства на содержание несовершеннолетних детей (алименты) взыскиваются с родителей в судебном порядке.

Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 25.10.1996 N 9 (ред. от 16.05.2017) «О применении судами Семейного кодекса Российской Федерации при рассмотрении дел об установлении отцовства и о взыскании алиментов»

• Если одновременно с иском об установлении отцовства предъявлено требование о взыскании алиментов, в случае удовлетворения иска об установлении отцовства алименты присуждаются со дня предъявления иска, как и по всем делам о взыскании алиментов (п. 2 ст. 107 СК РФ).