Какое качество в характере человека может отвечать за развитие эмоционального интеллекта?

Интеллект у человека, его развитость, в общем виде отвечает за восприятие окружающего и внутреннего миров, их обработку и понимание происходящего для адаптации к нему.  

Эмоциональный же интеллект (ЭИ) ограничен событиями взаимодействиями между людьми и собственного отношения к происходящему — как явно проявляющейся энергетической реакции организма на событие на разных уровнях.
Потому как по времени ДО любой видимой эмоции у человека сначала проявляются чувства, которые могут быть невидимы другим.
Далее эти чувства могут порождать соответствующие эмоции, регистрируемые объективно.

Исходя из этого, самое главное качество в характере человека, отвечающее за развитие ЭИ — жажда-стремление изучать себя, свои чувства и последующие проявляющиеся эмоции у себя и окружающих.

А это включает в себя:
— восприятие эмоций во всем возможном спектре их проявления у разных людей и у себя в том числе (свои гораздо сложнее распознавать — «в чужом глазу видеть соринку, в своем бревна не замечать»);
— распознавание тонких нюансов и отличий в разных, но близких по качеству эмоциях; 
— управление своими чувствами и (не)допущение проявления эмоций (вспомните как и почему Челентано рубил дрова в сарае);
— понимание и принятие (не)адекватности проявления эмоций в ситуации как энергетического потока в жизнедеятельности у себя и у окружающих.

Конкретно за распознавание эмоций отвечает уже не качество характера человека, а его энергетическая способность к эмпатии, которая является базовой способностью сенсорик.
Эту способность тоже можно-нужно развивать. Она является составляющей частью эмоционального интеллекта. 

А за проявление эмоций отвечает базовая энергетическая способность человека — гармонизатор, довольно близко к этому и общеизвестный термин харизма. Это естественно тоже можно-нужно развивать.

Теперь немного о детях.
Они с рождения естественно «заточены» на такое исследование, освоение и управление эмоциями. 
Вот только взрослые чаще мешают этому развитию.
И засада даже больше в том, что сами взрослые (любые) в вопросе эмоционального интеллекта «плавают» уже больше, чем дети. Но думают, что они в этом деле «доки», профессионалы. Такой самообман легко поселяется в головах людей.
Проводя многократно игру «Эмоциональный интеллект», я убедился в том, что большинство людей совершенно неадекватно оценивают свои способности в ЭИ как в показе эмоций, так и в их распознавании у других людей.