Каким образом Сартр обосновывает свое исходное положение "«экзистенциализм – это гуманизм»?

Сложно назвать это "исходником" - это уже поздняя работа. Тем не менее, этот тезис - без проблем получает основу в ключевой аксиоме экзитенциализма: "Существование - перед сущностью". Т.е. прежде чем стать кем-то, человек уже существует, "Я ЕСТЬ", и уже потом - "я есть что-то". 

Таким образом, момент свободы воли, выбора из альтернатив и самостоятельного творения себя и судьбы оказывается ведущим в этом смысле. Гуманизм - это ведь признание специфики человеческого положения, и в том числе туда входит эта довольно большая (пускай и явно ограниченная "данностями" вроде смерти и т.п.) свобода совершения выбора и следования ему.