В теории множеств мы можем сравнить бесконечные множества(т.е. бесконечности), как мы сравниваем конечные множества по числу элементов.
-----------------------------
Справка:
Множество A называется подмножеством множества B, если любой элемент множества A будет элементом множества B
Два множества равномощны, если каждому элементу множества A можно сопоставить единственный элемент множества B по какому-то закону.
card(X) - кардинальное число множества X.
-----------------------------
Введем такую характеристику для множеств как кардинальное число. Для конечных множеств это будет количество элементов в множестве.
Для бесконечных множеств кардинальное число является обобщением понятия числа элементов.
Хотя кардинальные числа бесконечных множеств не имеют отражения в натуральных числах, но их можно сравнивать.
Если множество A равномощно подмножеству B, то card(A)<=card(B).
Если множество B равномощно подмножеству A, то card(B)<=card(A)
Если card(B)<=card(A) и card(A)<=card(B), то card(B)=card(A).
При этом сравнение кардинальных чисел бесконечных множеств теми же свойствами, что и сравнение действительных чисел.
----------------------------------------
Таким образом мы можем сравнивать бесконечные множества. Так можно сказать, что бесконечность действительных чисел больше чем, например, натуральных. Известно, что кардинальное число натуральных чисел наименьшее возможное среди бесконечных множеств.
P.S. Многих, впервые столкнувшихся с теорией множеств, может поставить в тупик, что множество может быть равномощно своей части (строгому подмножеству). Так например все рациональные числа равномощны натуральным числам.