Полезно для начала определить, что такое закономерность. Видимо это какое-либо явление, подчиняющееся правилам, известным или неизвестным. Если я спрашиваю, сколько фотонов излучает LED при данном напряжении, или сколько вещества реагирует в реакции в минуту, то с определенной точностью все это закономерно и предсказуемо. Если я спрашиваю, в каком направлении данная молекула излучит фотон и когда; либо с какой молекулой прореагирует данная молекула и когда, то ответить я не могу и с моей точки зрения - это случайность. Т.е. закономерность зависит от того, насколько точный ответ мне нужен. Если мне безразличны отдельные молекулы, то меня устроит и "закономерный" ответ. Если задавать детальные вопросы, то на них уже ничего закономерного получить не удается. В ряде задач что-либо считается закономерным только потому, что для практики можно пренебречь погрешностями, но вообще говоря, стохастичность пронизывает все наши наблюдения, а закономерности воспроизводятся с ограниченной точностью, рядом упрощений и допущений. Можно конечно заявить, что поведение молекул тоже закономерно, но мы не можем предсказать этих законов, но проблема в том, что 20-м веке уже было открыто много законов, которые накладывают очень сильные ограничения на возможность что-то точно знать например про поведение элементарных частиц. Поэтому доводов в пользу отсутствия случайности у меня нет, а вот доводы против есть. И второе, что идеи о закономерности и случайности - не есть реальность, а лишь удобная для нас модель у нас в голове и нигде больше. Поэтому вопрос скорее о возможностях науки, в частности математики и вычислений, а не о реальности как таковой. Возможности всегда ограничены, а сложность возникающих задач неограничена.
Мысль, что случайности не существует, соответствует естественно-научным представлениям примерно 18-го века, и порождена Ньютоновской физикой (демон Лапласа туда же). Она подпитывается ограниченностью школьного образования, дающей в основном представления о задачах, которые однозначно решаются по известным уравнениям классической физики и не вызывают у школьных учителей когнитивного диссонанса. В математике и физике в течение 20-го века был накоплен огромный массив задач, которые не поддаются аналитическому математическому описанию и/или стохастичны и/или являются неопределенными. На эту тему на русском есть книга Р. Пенроуза "Новый ум короля". Понять проблему разума она не особо помогает, хотя это и заявляется ее задачей, но вот узнать много о стохастичности в современной математике и физике из нее можно. Примеры случайности:
- Принцип неопределенности Гейзенберга в квантовой механике. Фундаментальное соображение, устанавливающее предел точности одновременного определения пары характеризующих систему величин. Нельзя точно определить одновременно ВСЕ свойства элементарной частицы. Таким образом, демон Лапласа невозможен.
- Большинство дифференциальных уравнений, описывающих физические явления, неинтегрируемы. Т.е. для большинства задач в принципе не может быть формул, по которым мы можем все посчитать. То, для чего можно получить такие формулы - это очень малая часть всех доступных для изучения явлений. Пример: проблема трех и более тел в ньютоновской физике. Нет аналитической формулы, описывающей движение одновременно солнца, земли и луны. Тем более для большего числа тел. Проблема решается приближенными аналитическими решениями (упростить уравнения, получив интегрируемые, либо интегрировать приближенно) и численными методами. Большинство численных методов чувствительны к точности данных, выборам параметров расчета, а вычислительные погрешности, которые неизбежно есть, оказывают экспоненциально расширяющееся влияние на результаты моделирования. Поэтому мы так плохо предсказываем погоду, например.
- Неустранимо случайные процессы: почти все неравновесные процессы, химические реакции, мутации, турбулентность, излучение фотонов атомами, ядерные реакции, реакции распада тяжелых элементов, столкновения частиц с высокими энергиями. Они иногда описываются аналитически на больших масштабах или при усреднении по большому числу событий, но остаются стохастическими на уровне индивидуальных событий. Собственно вот из п. 3 и стохастичности турбулентности следует известный эффект бабочки и неспособность предсказывать погоду на 10 дней (ну т.е. технически-то можно хоть на год, только вот сбывается лишь в пределах недели). Популярное здесь современное понятие - бифуркация, т.е. резкий переход из регулярного состояния в стохастическое, причем структура стохастического состояния определяется мельчайшими флуктуациями параметров. Наблюдаемое распределение вещества и излучения во вселенной определяется, например, мельчайшими квантовыми флуктуациями, действовавшими в момент большого взрыва.
- Реальность в экспериментах ведет себя с высокой точностью неотличимо от случайного поведения. Сюда попадает любое молекулярное движение в жидкостях и газах, диффузия, теплопередача, реакции, излучение. Представление о случайности, об однородном случайном распределении каких либо событий - это мощный математический подход, который работает очень хорошо во множестве теорий и согласуется с экспериментом. Почитать можно про стрелу времени Эддингтона. Есть книги Пригожина "Время, хаос, квант", "Порядок из хаоса".
- Математические концепции, порождающие случайное поведение. Т.е. случайность вписывается в систему точных наук, этому есть множество математических обоснований. Популярно на русском: Б. Мандельброт, "Фрактальная геометрия природы", Федер "Фракталы". Пригожин сюда же.