Условимся, что говорим о русских рифмах. В других языках все, сильно или несильно, но по-другому.
Рифмы бывают, во-первых, точные и неточные.
У точных рифм фонетически совпадает звучание после ударного гласного: день — олень, клетка — отметка, вырасти — сырости. Точные рифмы, в свою очередь, делятся на бедные (у них согласные звуки совпадают только после ударного гласного: школа — магнитола) и богатые (у этих совпадают и предударные согласные: лента— суккулента, дали — страдали, хурма — корма). К богатым относятся и глубокие рифмы: здесь совпадают предударные слоги (тренировка — панировка). Предельно глубокой рифмой можно назвать омонимическую: здесь рифмуются слова-омонимы с разными значениями (коса — коса, засыпаю — засыпаю). От омонимической нужно отличать рифму тавтологическую, когда в рифменной позиции стоит не пара омонимов, а одно и то же слово (кролик — кролик: формально это все равно будет рифма). Еще один вид предельно глубокой рифмы — каламбурная рифма (досада — до сада, снасти — с Насти); обратите внимание, что такие рифмы, как правило, составные (о чем будет сказано ниже).
От бедных рифм надо отличать грамматические (однородные), то есть принадлежащие к одной части речи: например, глагольная рифма (сказал — устал, убить — купить) считается слишком простой и поэтому невысоко ценится. Впрочем, еще меньше ценится рифма однокоренная, сколь бы точной фонетически она ни была: пришел— ушел, заметка — отметка.
К неточным рифмам относятся ассонансные и консонансные. Ассонансой в русском стиховедении называют рифму, в которой ударная гласная совпадает точно, а согласные и безударные гласные — приблизительно: чёрный — формой, машинка — ошибка. Замечательно такими рифмами владели, например, Маяковский (локти — клёкоте, громадили — Богоматери) и Пастернак (неприякаянный — ископаемых, Марбурге — ярмарке). Консонансные (они же диссонансные) рифмы используются реже: здесь не совпадают ударные гласные (лапа — Европа, свежесть — тяжесть, розовый — одноразовый). К неточным можно отнести также неполные рифмы (ближе — оближет, страх — костра), разноударные (штОпор— топОр, бельЮ — колыбЕлью).
Рифмы, во-вторых, бывают открытые и закрытые. Тут все просто: открытой называется рифма, оканчивающаяся на гласные (луна— стена), закрытой — на согласную (вокзал — приказал).
Рифмы, в-третьих, делятся по количеству слогов после ударной гласной. Мужская рифма — ударная гласная стоит в самом конце: момент — континент. Женская: ударная гласная на втором слоге с конца: липа — скрипа. Дактилическая — ударение на третий слог с конца: зарево — марево. Гипердактилическая — на четвертый: половниками — виновниками. И так далее, вплоть до разных супергипердактилических рифм (очеловечивающиеся — расцвечивающиеся). Встречаются и разносложные рифмы (у Маяковского: радия — ради).
Рифмы, в-четвертых, бывают составными (как точные, так и неточные). Одно слово может рифмоваться с двумя или даже большим количеством. Например: торпеда— в толпе, да; свадьбы — попировать бы, ласковый — хоть глаз коли, английская — киска я.
Рифмы, в-пятых, бывают свежие и банальные. Свежая рифма— редкая или вообще впервые найденная — повод для гордости. Банальные рифмы — те, которые приходят в голову в первую очередь и, соответственно, использовались уже тысячами поэтов: кровь — любовь, век — человек, неба — хлеба и т.д.
Рифмы, в-шестых, различаются по положению в строке. Они бывают концевые, начальные и внутренние. С концевыми все понятно: это самые частые, стоящие в конце строки. Начальные рифмы, соответственно, стоят в начале. Вот пример из Брюсова:Мир объят пожаром заревым, / И закат кровавит сини вод: / Я, волну чуть зыбля на лету, / Тишину дневную жадно пью. Внутренняя рифма находится в середине строки и, как правило, рифмуется еще и с концевой (рэперы называют такое двойными и тройными рифмами): Нет, вам наскучили нивы бесплодные... / Чужды вам страсти и чужды страдания; / Вечно — холодные, вечно — свободные, / Нет у вас родины, нет вам изгнания (Лермонтов).
Это основное; есть еще нюансы и разновидности, о них можно прочитать, скажем, в этом словарике.
А у рэперов все то же самое, что у поэтов (отдельно радует формулировка «были у поэтов», как будто поэты закончились и начались рэперы): в хорошем рэпе ценится и виртуозность, и неожиданность рифмы (особенно ассонансной), и вообще обилие рифм.