В вопросе вы, с одной стороны, спрашиваете о чем-то вполне конкретном ("какова минимальная масса"), а с другой, ставите совершенно произвольное условие ("заметное влияние"). Какой ответ вы хотите получить? Столько-то килограмм?
Любая масса искривляет пространство. Чем она больше, тем больше и искривление. Максимальное искривление достигается в черной дыре, где пространство замыкается на само себя.