Здравствуйте, не нужно регистрировать трудовой договор. Нужно подать уведомление о заключении трудового или гражданско-правового договора с иностранным гражданином в течении 3 рабочих дней с момента заключения в отдел по вопросам трудовой миграции Вашего региона или направить в этот отдел заказным письмом с описью влодения и уведомлением о получении