Давайте сначала разберемся с терминологией. Отдельного "квантового поля" не существует. Все поля квантовые. Кроме, может быть гравитационного, с ним пока не очень понятно. Физический вакуум - это не какое-то отдельное поле. Это такое состояние, в котором все физические поля находятся в состоянии с наименьшей возможной энергией.
Далее, если вопрос "как" подразумевает ответ в виде простой механической аналогии, то нет, такого вам никто не скажет. Можно, конечно, говорить, что например один электрон излучил фотон, другой его поглотил, и они так провзаимодействовали, но вряд ли это достаточное объяснение.
Полноценно можно ответить только на языке математики, написав уравнения. В теории поля поля (вот такая тавтология) описываются с помощью лагранжиана - некой функции зависящей от поля, а эволюция полей со временем происходит таким образом, чтобы интеграл лагранжиана по времени был минимальным. Это называется принципом наименьшего действия. За взаимодействие различных полей отвечают слагаемые в лагранжиане, связанные с произведением различных полей друг на друга. Например, лагранжиан в классической электродинамике выглядит так
Где первый член соответствует свободному полю без зарядов, последний - лагранжиан частиц, а средний - как раз произведение векторного потенциала поля на 4-х ток частиц. Это и есть взаимодействия. Проварьировав этот лагранжиан можно получить обычные уравнения максвелла. В общем, все члены, отвечающие за взаимодействие похожи на этот пример. А лагранжиан "всего" в стандартной модели выглядит вот так
