Варианта три можно рассмотреть:
Войти (один раз!) с логином и паролем в каждый ящик Яндекса и переключаться между аккаунтами кликом по аватарке профиля.
Использовать последнюю версию Firefox и расширение Firefox Multi-Account Containers https://addons.mozilla.org/ru/firefox/addon/multi-account-containers/ Суть его работы - в каждой вкладке (контейнере) создается свой профиль со своими куками и настройками, не мешая другим вкладкам
Возможно, есть смысл использовать не веб интерфейс почты, а оффлайн почтовый клиент - Thunderbird, The Bat, Outlook ? В любой из этих программ можно добавить десятки ящиков и проверять их одновременно.