Проще всего - через Госуслуги. Конечно, для этого потребуется там зарегистрироваться. При подаче заявления через Госуслуги можно одновременно выписаться со старого адреса и зарегистрироваться по месту жительства по новому адресу. В течение 3 дней после подачи заявления вас пригласят в отделение ГУВМ МВД (бывшая ФМС) для проставления штампа о прописке в паспорт. Никакие паспортисты в данном случае не нужны, паспорт все время остается при вас. Визит в ГУВД МВД будет только один раз.