Стиль речи — это то, какие языковые средства мы используем в определённой ситуации. Например, слова являются языковым средством — в научном стиле мы больше употребляем абстрактную лексику, термины, а разговорном — конкретную, просторечную, сленговую. То, что мы разграничиваем языковые средства для разных ситуаций, помогает быстро сориентироваться в том, что происходит и как нам самим себя вести, как строить речь.
Жанр — это определённая форма. Бывают не только речевые жанры, но и, например, художественные — натюрморт, портрет. У жанра есть законы, которые необходимо соблюдать, чтобы жанр был узнаваем. Если жанр «портрет» — на картине должно быть чьё-то лицо. Если жанр письмо — должно быть приветствие, обращение и прощание. Но при этом языковые средства регламентированы в жанре не всегда: например, то же письмо может быть написано и в научном стиле (получаем письмо в учёный совет), и в официально-деловом (рассылка по школам приказа), и в разговорном (письмо лучшему другу).
Так что жанр и стиль речи соотносятся примерно так: жанр — форма, а стиль речь — речевое наполнение формы, которое определяет ситуацию и определяется ситуацией и адаптирует к этой ситуации жанр.